Санкт-Петербург
2013
(1970)
Эдуард В. Двинин
ПЯТЫЙ "ПОСТУЛАТ" ЕВКЛИДА
( Доказательство )
Статья первая
Основополагающий принцип, называемый
"пятым постулатом Евклида", известен
с давних пор [1]:
"...если прямая,
падающая на две
прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие двух
прямых, то продолженные эти две прямые
неограниченно встретятся с
той стороны, где углы меньшие двух прямых."
И с тех же, быть может, пор предпринимаются попытки обосновать
этот принцип.
А так как прямое экспериментальное
доказательство здесь невозможно (таковое
отрицается понятием "неограниченно"), принцип сам существует до сих пор
лишь на
правах гипотезы, несмотря на множество фактов, косвенно подтверждающих
истинность содержания его, и несмотря на отсутствие каких-либо доводов
против.
Настоящей работой я преследую цель
показать, что гипотеза эта д о к а з у е м а
(т. е. выводима из положений так называемой абсолютной геометрии), ─ и тем
возвести ее в класс теорем, в класс представлений, отображающих
естественные связи
и отношения.
ЛЕММА 1.* Через заданную точку можно провести
перпендикуляр к данной прямой
линии, и только один.
ЛЕММА 2. Два
перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны между собой.
[к
содержанию]
ЛЕММА 3
Если прямая с
перпендикулярна прямой а
и при этом прямая с сечет
прямую b
(пусть это будет первое сечение) так, что
образованные в результате сечения смежные углы не равны,
и при этом некоторая прямая d, секущая
прямую b
(пусть это будет второе
сечение), перпендикулярна прямой a
и при этом между первым и вторым сечениями отсутствует точка
пересечения
прямых a
и b,
то
прямая d тоже дает в пересечении
с b
неравные смежные углы: причем
соответственные углы в пересечениях прямых d
и c
прямой b
будут либо
острыми (и в каждой паре с одним острым углом ─ только
острыми), либо тупыми
(и в каждой паре с одним тупым углом ─ только тупыми);
а также будут не равны отрезки прямых d
и c
, отсекаемые прямыми a
и b:
причем в случае, когда прямая d расположена по ту же
сторону прямой c, что и
внутренний острый угол первого сечения, отрезок прямой d
будет м е н ь ш е
отрезка прямой c (и тем
будет меньше, чем дальше второе сечение будет
отстоять от первого), а в случае, когда прямая d
расположена по ту же сторону
прямой c,
что и внутренний тупой угол первого сечения, отрезок прямой d будет
б о л ь ш е отрезка прямой c (и тем
будет больше, чем дальше второе сечение
будет отстоять от первого).
В самом
деле, пусть a,
b, c, d суть
прямые, удовлетворяющие посылкам леммы 3,
а точки A,
B, E, F ─
точки пересечений этих прямых (см. рис. 1 *******). Положим
также (для определенности), что <FBA ─ острый угол.
Рис. 1.
В таком случае прямая c не
является перпендикуляром к прямой b; а значит,
через
точку A
может быть проведен перпендикуляр к прямой b (лемма 1).
Существенно, что
основание такого перпендикуляра (пусть это будет точка B1) лежит по
ту же сторону
прямой c,
что и <FBA. (Противное противоречит
теореме о
внешнем угле
треугольника: если бы AM
был перпендикуляром к прямой b, то <AMB
был бы
прямым. Евклид**:
определения 10, 11, 12, предложение 16.) И в
таком случае
AB1 « BA ***.
(<B1BA ─ острый, что является предпосылкой
рассматриваемого случая леммы;
<BAB1 ─ острый,
как часть прямого угла BAE; <AB1B = d . Евклид:
определения 10,
11, 12, аксиома 8,
предложение 19.)
Далее, прямая AB1 не является
перпендикуляром к прямой a; а значит,
через
точку B1 может быть проведен
перпендикуляр к прямой a (лемма 1).
Существенно,
что основание такого перпендикуляра (пусть это будет точка A1) лежит по ту
же
сторону прямой AB1, что и <B1AE. (Противное противоречит теореме о
внешнем угле
треугольника.) А значит:
B1A1
« AB1 « BA .
(<B1AA1 ─ острый, как часть прямого угла BAA1; <AB1A1 ─ острый, как часть
прямого угла AB1F; <B1A1A = d .
Евклид: определения 10,
11, 12, аксиома 8,
предложение 19.)
И так рассуждая д а л е е ,
нетрудно прийти к выводу:
. . . «
Bn+1An+1 « AnBn+1 « BnAn
« . . . « B1A1 « AB1 « BA .
Как видно из сказанного, этот
вывод основывается на неизменяемости видов
углов, возникающих в результате построения (изложенным способом)
перпендикуляров к прямым
линиям a
или b
.
Действительно, перпендикуляр к
одной из этих прямых образует с ней прямые углы, и этот же
перпендикуляр образует
с
другой
прямой линией неравные смежные углы; более того, внутренний
острый
угол неизменно оказывается на той стороне построенного перпендикуляра,
на
которой
возможно построение очередного.
Относительно числа n , фигурирующего в выводе, никаких
ограничений не
делается. Но, поскольку каждый шаг доказательства леммы 3
увязывается с
построением очередного перпендикуляра, необходимо отметить, что при
фиксированном расположении прямых, удовлетворяющем рассматриваемому
варианту посылок леммы, только локализация прямой линии d
является разумным
ограничением для неограниченного повторения
таких шагов.
[к содержанию]
Конечно же, один из перпендикуляров BiAi может совместиться с
отрезком FE
прямой d.
И конечно, в случае такого совмещения комментарии на предмет
правомерности леммы излишни. Требуется, однако, показать, что
утверждения
леммы 3 остаются в силе и при отсутствии совмещения.
Пусть в результате наших исследований (см. рис. 2*******)
перпендикуляры
BnAn и Bn+1An+1
оказались с разных сторон прямой d. (В силу
леммы 2, прямая d
не
пересекается ни с одним из них.) Соединим точки F
и An прямой
линией
(Евклид:
постулат 1).
Рис.2.
Вот в
треугольнике FBn+1An
угол FBn+1An является
прямым;
угол же BnFAn ─
внешний, не смежный
с <FBn+1An, и, следовательно, тупой
(Евклид:
определения 10, 11, предложение 16). И следовательно, в
треугольнике
BnFAn
:
FAn «
BnAn
(Евклид: предложение 19).
В треугольнике же FEAn
одноименный угол является прямым, а значит:
FE «
FAn
(Евклид: предложение 19).
Стало
быть:
FE « BnAn «
. . . « B1A1 « AB1 « BA .
И еще раз об углах.
Угол AnFBn+1 ─ острый, как смежный с
тупым углом AnFBn ; угол Bn+1FE ─ острый,
как часть острого угла Bn+1FAn ; но именно угол Bn+1FE, стороной которого является
отрезок FE прямой d,
соответствует углу FBA,
стороной которого является отрезок BA
прямой c.
Что и требовалось доказать ****.
[к содержанию]
ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА
В прямоугольном
треугольнике сумма трех внутренних углов равна двум прямым
углам
(2d).
Пусть ▲AGO
(см. рис. 3*******)
есть
треугольник, один угол которого (например,
<AGO) суть прямой.
Рис. 3.
Я утверждаю, что сумма его углов равна двум прямым
углам, и в доказательство
сему привожу следующие рассуждения.
1-ый этап. Построения,
принципиально осуществимые возле прямоугольного
треугольника.
1.1. Продолжим стороны AG
и OG впрямь (Евклид: постулат
2), т. е. привлечем к
рассмотрению прямые a и c .
1.2. На прямой a, от точки G, отложим отрезок, равный AG (Евклид: предложение
3):
получим точку D; на прямой c, от точки O, отложим отрезок, равный OG :
получим точку H.
1.3. Через точку H
проведем прямую b,
перпендикулярную прямой c (лемма 1).
1.4. На прямой b, от точки H, отложим (в обе стороны) отрезки,
равные AG (см. 1.2):
получим точки B и C.
1.5. Соединим прямыми линиями каждую из точек B, C, D с точкой O, а также
соединим точку A с точкой B и точку C с точкой D (Евклид: постулат
1).
1.6. Разделим AB и CD пополам (Евклид: предложение
10): получим точки E и F.
1.7. Соединим прямыми линиями каждую из точек E и F с точкой O (см. 1.5).
2-ой этап. Основные
соотношения, определяющие свойства построенной фигуры и
ее частей.
2.1. Отобразим, для начала, явные свойства фигуры ABCD.
а). <AGO =
<BHO = <CHO = <DGO = d
(построения 1.1÷1.4;
посылка доказываемой теоремы; Евклид:
определение 10, постулат 4).
б). AG = BH = CH
= DG
(построения 1.1÷1.4; Евклид: аксиома 1).
в). OH = OG
(см. 2.1.б).
г). AD =
BC
(2.1.б; Евклид: аксиома 2).
д). ▲AGO = ▲BHO =
▲CHO = ▲DGO
(построение 1.5; 2.1: а, б, в; Евклид: предложение
4).
е). OA = OB = OC
= OD
(2.1.д; Евклид: предложение
4).
ж). <OAG = <OBH = <OCH = <ODG
=
a (2.1.д;
Евклид: предложение 4;
обозначение).
з). <AOG
= <BOH = <COH = <DOG = ß
(см. 2.1.ж).
и). Так как GH
─ прямая
линия
(см. 1.2), то <AOG +
<AOH
= 2d
(Евклид:
предложение
13).
Но <AOG = <COH
(см. 2.1.з); следовательно,
<COH + <AOH = 2d ;
и
следовательно, AC ─ прямая линия
(Евклид:
предложение 14).
к). BD
─ прямая
линия тоже (см. 2.1.и).
л). AC =BD
(2.1: е, и, к;
Евклид: аксиома 2).
м). <AOB
= <COD
(2.1: и, к; Евклид: предложение 15).
н). ▲AOB =▲COD
(построение 1.5; 2.1: е,
м; Евклид: предложение 4).
о). AB = CD
(2.1.н; Евклид:
предложение 4).
п). <OAB
= <OBA = <OCD = <ODC = ð
(2.1: е, н; Евклид:
предложения 4 и 5, определение 20; обозначение).
р). ▲ADC =▲DAB
=▲BCD =▲CBA (2.1: г,
л, о; Евклид:
предложения 8 и 4).
c). <ADC
= <DAB = <BCD = <CBA = a + ð = Є
(2.1: ж, п; Евклид: аксиома
2;
обозначение; или 2.1.р; Евклид: предложение
8; обозначение).
т). AE = EB = CF
= FD
(построение 1.6; 2.1.о; Евклид: аксиома
6 *****).
у). ▲AEO =▲BEO
=▲CFO =▲DFO
(построение 1.7; 2.1: е, п,
т; Евклид: предложение 4).
ф). <AOE
= <BOE = <COF = <DOF = ŋ
(2.1.у;
Евклид: предложение 4; обозначение).
х). <AEO
= <BEO = <CFO = <DFO = d
(2.1.у;
Евклид: предложение 4; определение
10).
ц). <EOH =
<FOH = <FOG = <EOG = ß + ŋ = d
(2.1: з,
ф;
Евклид:
аксиома 2;
построения 1.1÷1.7; 2.1.ц; Евклид: предложение
13,
определение 10).
ч). EF
─ прямая
линия (см. 2.1: и, ц).
[к содержанию]
2.2. Теперь возможно установить еще
одно свойство фигуры ABCD : а именно,
определить угол
Є.
Три разновидности углов, меньших,
чем развернутые, известны в настоящее время:
прямые (Евклид: определение
10), тупые (Евклид:
определение 11) и острые
(Евклид:
определение 12).
Спрашивается: к какой из известных
категорий следует отнести угол Є
?
Угол Є
не может быть тупым, ибо совместное выполнение неравенства
Є » d
и доказанных по пунктам 2.1.с, 2.1.т, 2.1.х, 2.1.ч
положений противоречит
утверждениям леммы 3.
Угол Є
не может быть острым, ибо совместное выполнение неравенства
Є « d
и доказанных по пунктам 2.1.с, 2.1.т, 2.1.х, 2.1.ч
положений противоречит
утверждениям леммы 3.
Но если Є не может быть ни тупым углом, ни
острым, и если Є ─ угол
все-таки, то
не остается ничего другого, как быть ему прямым. Итак:
Є = d .
3-ий этап. Следствие
из сказанного на этапе 1-ом и на этапе 2-ом и из сказанного
Лежандром******.
Из сопоставления 2.1.р, 2.1.с и 2.2
следует, что в треугольнике ADC
(а значит, и в
треугольнике DAB, а значит, и
в треугольнике BCD, а значит,
и в треугольнике CBA)
сумма углов равна двум прямым углам. Этого, как устанавливает вторая
основная
теорема Лежандра, вполне достаточно для доказательства рассматриваемой
теоремы,
т. е. для обоснования равенства суммы внутренних углов двум прямым
углам как в
треугольнике AGO, так и в
любом другом прямоугольном треугольнике.
К такому же выводу приводит рассмотрение
фигуры AEOG, все углы которой
суть
прямые (см. посылку доказываемой теоремы, 2.1.х, 2.1
ц, 2.2). Нетрудно видеть, что
фигура эта сложена из двух треугольников (▲AEO и ▲AGO), сумма всех шести углов
которых равна четырем прямым углам. А значит, сумма углов в
треугольнике AGO не
может отличаться от двух прямых углов, поскольку противное противоречит
первой
основной теореме Лежандра.
[к содержанию]
ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ
Человек, знакомый с историей проблемы "пятого
постулата", вряд ли нуждается в
продолжении доказательства последнего.
Вниманию же читателя, неискушенного в этом
вопросе, здесь предлагается
заключение профессора В.Ф. Кагана о достижениях Лежандра на пути к
решению
проблемы (см. [2], гл. 2, §15, рубрика 8):
"...Лежандр средствами абсолютной геометрии доказал две теоремы
основного
значения. Первая из них заключается в том, что сумма внутренних углов
прямолинейного треугольника не превышает 2d ; вторая заключается в том, что
сумма
внутренних углов равна 2d
во всяком
треугольнике, если существует хотя бы один
треугольник, в котором это имеет место. Лежандр показал, что теорема о
сумме углов
прямолинейного треугольника ("Начала", 1.32) эквивалентна постулату о
параллельных линиях. Этот последний результат уже содержался, правда, в
рассуждениях Насир-Эддина, но он там не был достаточно отчетливо
отмечен, не
получил распространения. Это значит, если допустить, что существует
хотя бы один
прямолинейный треугольник, в котором сумма углов равна 2d, то
можно
доказать
постулат о параллельных линиях. Лежандр пытался
доказать существование
такого
треугольника, но все его попытки строго это обосновать ошибочны. Тем не
менее
нужно отметить, что установление этих двух теорем было несомненным
продвижением вопроса о V постулате Евклида."
___________
ЛИТЕРАТУРА
1. НАЧАЛА ЕВКЛИДА. Книги I - VI, ОГИЗ ГИТТЛ, Москва -
Ленинград, 1948.
2. В.Ф. КАГАН. Основания геометрии. Часть I., ГИТТЛ, Москва
- Ленинград, 1949.
ПРИМЕЧАНИЯ
*
Первые две леммы широко известны;
привожу их без доказательства.
**
Здесь и далее ссылки на установки
Евклида даны соответственно первой его
книге. (См.
рубрику ПРИЛОЖЕНИЕ.)
*** См.
рубрику ОБОЗНАЧЕНИЯ.
**** Так же
просто доказываются и остальные положения
леммы. Несколько
сложнее
доказывается абсурдность предположения о том, что перпендикуляры
BnAn и Bn+1An+1,
выстраиваемые рассмотренным образом, при любом n
будут
находиться между прямыми линиями c
и d.
***** В качестве
аксиомы 6 здесь использована та, на которую
опирается традиция
при
доказательстве предложений Евклида 1.37 и 1.38: "Половины равных
равны между собой." Ее же я включил и в рубрику ПРИЛОЖЕНИЕ
вместо
аксиомы, содержащейся в разделе "Общие понятия" Книги I (см.[1]):
"И
половины одного и того же равны между собой".
****** См. раздел настоящей
статьи ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.
******* В этой работе
рисунки отображают построения (и результаты
построений),
которые подробно излагаются в строках текста, расположенных по соседству
с соответствующими рисунками, и потому я не привожу альтернативный
текст.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Сначала я пытался использовать
традиционные обозначения, но для Web это
оказалось непродуктивно. И потому прошу читателя принять такую
символику:
(·)
точка (пример традиционного обозначения);
<
угол;
d
прямой угол;
▲
треугольник;
{....}
cимвол для обозначения фигуры;
│
символ совмещения геометрических объектов
(очень похож на традиционную вертикальную черту,
за которой записывается условие для детерминирования
выражения, стоящего перед чертой);
|
символ перпендикулярности
прямых;
«
меньше;
=«
равно или меньше;
»
больше;
»=
больше или равно;
SUM
знак суммирования (суммы) элементов;
SUM<▲
сумма углов треугольника;
SUM<{....}
сумма углов фигуры;
SUM i=1÷n Ai-1Ai
сумма
отрезков Ai-1Ai, положение и
протяженность
каждого из которых определяется числом i,
принимающим поочередно значения от 1 до n (n»1);
например, для n=2
сумма отрезков будет равна
SUM i=1÷2
Ai-1Ai =Ai-1Ai|i=1 + Ai-1Ai|i=2 =
= AA1 + A1A2 .
ПРИЛОЖЕНИЕ
В эту рубрику я включил формулировки только
тех положений Евклида, на которые
опирается непосредственно настоящее доказательство (см. [1]):
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
Книга I
Определения
10. Когда же прямая, восставленная на другой
прямой, образует рядом углы, равные
между собой, то каждый из
равных углов есть прямой, а восставленная прямая
называется перпендикуляром к
той, на которой она восставлена.
11. Тупой угол ─
больший прямого.
12. Острый же ─ меньший
прямого.
15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной
линии [которая называется
окружностью], на которую все
из одной точки внутри фигуры падающие прямые
равны между собой.
16. Центром же круга называется эта точка.
19. Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между
прямыми,
трехсторонние ─ между тремя, четырехсторонние же ─ четырьмя,
многосторонние же ─ которые содержатся между более
чем четырьмя прямыми.
20. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть
фигура, имеющая три
равные стороны,
равнобедренный же ─ имеющая
только две равные стороны,
разносторонний же ─ имеющая три неравные стороны.
21. Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный
треугольник есть имеющий
прямой угол, тупоугольный же
─ имеющий тупой угол, а остроугольный ─
имеющий три острых угла.
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной
плоскости и будучи
продолжены в обе стороны
неограниченно, ни с той ни с другой стороны между
собой не встречаются.
Постулаты
Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую
линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по
прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан
круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
Общие
понятия
(Аксиомы)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут
равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут
равны.
6. Половины равных равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
[к содержанию]
Предложения
2. От данной точки отложить прямую, равную данной
прямой.
3. Из двух заданных неравных прямых от большей отнять
прямую, равную меньшей.
4. Если два треугольника имеют по две стороны, равные
каждая каждой, и по
равному углу, содержащемуся между
равными прямыми, то они будут иметь и
основание, равное основанию, и один
треугольник будет равен другому, и
остальные углы, стягиваемые равными
сторонами, будут равны остальным углам
каждый каждому.
5. У равнобедренных треугольников углы при основании равны
между собой, и по
продолжении равных прямых углы под
основанием будут равны между собой.
8. Если два треугольника имеют две стороны, равные каждая
каждой двум сторонам,
имеют также и основание, равное
основанию, то они будут иметь и угол, равный
углу, заключенному между равными прямыми.
10. Данную ограниченную прямую рассечь пополам.
11. К данной прямой из заданной на ней точки провести прямую под
прямыми
углами.
12. К данной неограниченной прямой из заданной точки, на ней не
находящейся,
провести перпендикулярную прямую
линию.
13. Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она
будет образовывать
или два прямых или вместе равные
двум прямым.
14. Если с некоторой прямой в какой-нибудь ее точке две прямые,
расположенные не
по одну и ту же сторону, образуют
смежные углы, равные вместе двум прямым,
то эти прямые по отношению друг к
другу будут по одной прямой.
15. Если две прямые пересекаются, то образуют углы через вершину,
равные между
собой.
16. Во всяком треугольнике при продолжении одной из сторон
внешний угол больше
каждого из внутренних, ему
противолежащих.
19. Во всяком треугольнике больший угол стягивается и большей
стороной.
21. Если в треугольнике на одной из сторон от концов восставлены
будут внутрь две
прямые, то восставленные прямые
вместе будут меньше двух остальных сторон
треугольника, но будут заключать
больший угол.
23. На данной прямой при данной ее точке построить прямолинейный
угол, равный
данному прямолинейному углу.
24. Если два треугольника имеют две стороны, равные двум сторонам
каждая каждой,
но заключенный между равными
сторонами угол в одном больше, чем в другом,
то и основание в первом будет
больше основания во втором.
26. Если два треугольника имеют два угла, равных двум углам
каждый каждому, и
одну сторону, равную одной
стороне, либо заключающейся между равными
углами, либо стягивающей один из
равных углов, то они будут иметь и остальные
стороны равными остальным сторонам
каждая каждой и оставшийся угол
оставшемуся углу.
СОДЕРЖАНИЕ
Начало первой статьи
ЛЕММА 1
ЛЕММА 2
ЛЕММА 3
ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
1-ый этап
2-ой этап
3-ий этап
ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИМЕЧАНИЯ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ
Начало второй статьи
Содержание второй статьи
Начало третьей статьи
Содержание третьей статьи
*
* *
Используются технологии
uCoz