Санкт-Петербург
2013 (1970)
Эдуард В.
Двинин
ПЯТЫЙ "ПОСТУЛАТ" ЕВКЛИДА
( Доказательство )
Статья третья
Одним из результатов исследований,
изложенных в первых двух статьях, является
использование специфических ломаных линий в качестве средств
доказательства
леммы 3.
Эти ломаные линии обладают следующими
характерными особенностями:
Каждая из сторон ломаной линии перпендикулярна к одной из двух
непараллельных
лежащих в плоскости прямых линий; причем стороны, перпендикулярные к
одной
прямой, чередуются со сторонами, перпендикулярными к другой прямой
линии.
Также чередуются и вершины ломаной (как основания чередующихся
перпендикуляров): соответственно, одни из них расположены на одной
прямой,
остальные ─ на
другой прямой линии.
Имея в виду
столь необычную специфику
обсуждаемых ломаных линий,
целесообразно присвоить им какое-либо название: например, П-ломаные линии.
Разумеется, любые две лежащие в одной плоскости непараллельные прямые
линии
порождают бесчисленное множество П-ломаных линий.
В зависимости от способа построения П-ломаные
линии могут быть подразделены
на два вида: восставленные (восставляемые) и опущенные (опускаемые).
Такое
деление, однако, при дальнейшем изложении удобнее использовать в более
узком
смысле, применительно лишь к двум линиям, а именно:
пусть
П-ломаная линия, стороны которой восставлены на прямых линиях,
удовлетворяющих посылкам леммы 3, по методике, изложенной в статье 2,
будет
названа восставленной П-ломаной
линией;
соответственно,
П-ломаная линия, стороны которой опущены на такие прямые по методе,
изложенной
в статье 1, будет названа опущенной
П-ломаной линией.
Краткая
характеристика
этих ломаных
такова.
▪ Началом восставленной П-ломаной
линии
является вершина внутреннего
тупого угла.
▪ Началом же опущенной П-ломаной линии является вершина прямого
угла,
имеющего общую сторону с внутренним острым
углом.
▪ Наиболее существенное свойство восставленной
П-ломаной:
любая ее сторона,
кроме последней, больше предыдущей.
▪ Наиболее существенное свойство опущенной П-ломаной
линии:
любая ее
сторона меньше
предыдущей.
(Протяженность последней стороны как восставленной, так и
опущенной,
П-ломаных линий предопределяется конкретным расположением прямых
линий,
порождающих эти П-ломаные.)
▪
Еще одно важное свойство всех П-ломаных линий, и
опущенных, и
восставленных, состоит в том, что углы, которые образуют
стороны П-ломаной с
прямыми линиями, ее порождающими, сохраняют неизменно свое видовое
качество
(разумеется, это обнаруживается при сопоставлении соответственных
углов, которые
образуют перпендикуляры к одной из исходных непараллельных прямых
с другой
прямой
линией).
Но, конечно же, главным результатом, ради которого
была проделана эта работа,
является самое доказательство леммы 3. В частности, в статье 2
приведено
доказательство леммы для случая доопределения ее посылок
условием существования
внутреннего тупого угла в первом сечении. Это доказательство является
одновременно обоснованием еще одного существенного свойства
восставленных
П-ломаных линий, которое целесообразно отобразить самостоятельным
положением.
[к
содержанию]
ЛЕММА 4. Если некоторые четыре
прямые линии удовлетворяют посылкам
леммы 3 и
при этом один из внутренних углов, образованных ими,
является тупым, то восставленная П-ломаная линия,
порожденная
этими прямыми линиями,
имеет по крайней мере по одной общей
точке
с каждой из обеих параллельных прямых,
названных леммой.
Иными словами, лемма 4 утверждает, что
восставленная П-ломаная линия,
начало которой расположено на одной из параллельных
прямых, либо имеет общую
точку с другой параллельной прямой (более того, эта
точка лежит на отрезке,
отсекаемом непараллельными прямыми линиями, см. рис.1 *****),
Рис. 1.
либо совмещается одной из своих сторон с этой прямой (с указанным
отрезком,
см. рис. 2 *****).
Рис. 2.
Оба варианта взаимного расположения П-ломаной и прямой линий являют
собой
один (общая точка) или другой (общий отрезок) вид пересечения этих
линий, и
потому любую из этих возможностей следует назвать пересечением
П-ломаной линии
с прямой, которую П-ломаная достигла.
Повторяю: существование такого
пересечения для восставленной П-ломаной
линии доказано в статье 2.
Непосредственным следствием, из лемм 3 и
4 вытекающим, является еще одна
лемма.
[к содержанию]
ЛЕММА 5. Если некоторые четыре
прямые линии удовлетворяют посылкам леммы 3
и
при этом один из внутренних
углов, образованных ими, является тупым,
то опущенная П-ломаная
линия, порожденная этими прямыми линиями,
имеет по крайней мере по
одной общей точке с каждой из обеих
параллельных прямых, названных леммой.
Хотя правомерность леммы 5
очевидна, для исключения сомнений привожу здесь
ее доказательство.
Пусть a, b, c, d будут (см. рис. 3 *****) прямые линии,
воспроизводящие
исходную ситуацию леммы 4; A, B, F, E ─ точки пересечения этих
прямых, а
<FBA ─ тупой угол *. И пусть BA1B1A2B2 . . . AnBnP будет восставленная
П-ломаная
линия, пересекающая отрезок FE
прямой d
в точке P,
не совпадающей с точкой E
(обыкновенный исход после n
циклов рассечений **).
Требуется доказать, что опускаемая
П-ломаная линия, имеющая начало в точке E,
пересекает отрезок BA
прямой c
в некоторой точке I.
Рис. 3.
Следуя рассуждениям, изложенным в статье
1, можно утверждать, что основание
перпендикуляра, опущенного из точки E
на прямую b
(пусть точка F1 будет этим
основанием), находится между точками Bn
и Bn-1 и не совпадает ни с
одной из них.
(Совпадение точки F1 с
точкой Bn или с точкой Bn-1 противоречит
лемме 1.)
Также возможно утверждать, что перпендикуляр EF1, являющийся первой
стороной
опускаемой П-ломаной линии, проходит между соседними параллельными
сторонами
PBn и AnBn-1 восставленной
П-ломаной линии и не пересекается ни с одной из них
(лемма 2) и что угол F1EA является острым, как часть
прямого угла FEA .
Далее, основание перпендикуляра,
опущенного из точки F1 на прямую a (пусть
точка E1
будет этим основанием), находится между точками An и An-1 и не
совпадает
ни с одной из них. (Совпадение точки E1 с точкой An или с точкой An-1
противоречит лемме
1.) А сам перпендикуляр F1E1, являющийся второй
стороной
опускаемой П-ломаной линии, проходит между соседними
параллельными сторонами
BnAn
и Bn-1An-1 восставленной
П-ломаной линии и не пересекается ни с одной из
них (лемма 2). Угол
же E1F1B является острым, как часть
прямого угла EF1B .
И так повторяя далее построение сторон
опускаемой П-ломаной линии и
воспроизводя на каждом шаге условия для выполнения следующего шага,
можно
утверждать, что с каждым новым циклом построений (с каждой парой шагов)
опускаемая П-ломаная линия приближается к отрезку BA прямой c. А
поскольку число
сторон восставленной П-ломаной конечно и ее начальная вершина B расположена на
прямой c,
то конечно и число сторон опускаемой П-ломаной, а ее (2n+1)-ая сторона
(т.е. перпендикуляр EnFn+1 ) пересекает
отрезок BA прямой c
в некоторой точке I .
Что и требовалось доказать.
[к содержанию]
Теперь для приведения к абсурду
предположения, изложенного в примечании
4
статьи 1, а именно таковая процедура является целью этой статьи,
необходимо
воспроизвести здесь еще два положения, которые также могут быть названы
леммами
по причине их вспомогательного значения для работы в целом.
ЛЕММА 6. В прямоугольнике, если
таковой существует, противоположные стороны
попарно равны.
Предположим, что
четырехугольник ABCD
(см. рис. 4 *****)
является
прямоугольным, т. е.
<BAD = <ABC = <BCD = <CDA = d
.
Требуется
доказать, что AD
=
BC и AB = CD .
Рис. 4.
а). Соединим
точки A и C прямой
линией
(Евклид ***:
постулат 1).
б). Разделим сторону AB
пополам: получим точку E
и равенство
AE =
EB
(Евклид: предложение 10).
в). Через точку E
проведем прямую, перпендикулярную AB
, до пересечения со
стороной CD: получим точку F и равенство
<FEA = <FEB = d
(Евклид:
предложение 11,
определение 10;
Л6:
а;
аксиома Паша; лемма 2).
г). Соединим точки A
и F прямой
линией, а также соединим прямой точки B и F
(см. Л6: а).
д). ▲FEA = ▲FEB
(EF ─ общая, Л6: б, в, г;
Евклид: предложение
4).
е). AF = BF
(Л6:
д; Евклид: предложение
4)
ж). <FAE = <FBE
(см. Л6: е).
з). <FAD = <FBC
(посылка леммы, Л6: ж;
Евклид: аксиома 3).
и). ▲ADF = ▲BCF
(посылка леммы, Л6: е,
з; Евклид: предложение
26).
к). AD = BC
(см. Л6: и).
Доказательство равенства другой пары
сторон прямоугольника выполняется по
образу и подобию только что проделанного.
Что и требовалось доказать.
[к содержанию]
ЛЕММА 7. Если существует
какой-либо прямоугольник, то в четырехугольнике,
три угла которого
являются прямыми, четвертый угол ─ тоже прямой.
Из мыслимых вариантов
соотносимости четырехугольных фигур, поименованных
в лемме, привожу только тот, что имеет непосредственное отношение к
достижению
цели работы.
Пусть ABFE есть четырехугольник
(см. рис. 5 *****
), об
углах которого известно:
<ABF = d,
<BAE = d,
<FEA = d.
И пусть известно, что четырехугольник ABCD, составляющий часть
четырехугольника
ABFE,
является прямоугольным, т. е.
<BCD = d
и
<CDA = d .
Требуется доказать, что <BFE = d.
Рис. 5.
Продолжим стороны BF и AE впрямь, т. е. привлечем к
рассмотрению прямые
b и a
(Евклид: постулат 2).
Будем рассуждать в следующей
последовательности.
Л7-1. Первая ступень.
1). На прямой a, от (·)D, отложим отрезок, равный AD (см. рис. 6 ***** ): получим
(·)A1. На прямой b, от (·)C, отложим отрезок, равный BC: получим (·)B1.
(Евклид: предложение 3.)
Рис. 6.
2). AD = BC = CB1 = DA1
(посылка
леммы 7, лемма 6, Л7-1: 1; Евклид: аксиома 1).
3). Соединим точки A1 и B1 прямой
линией, а также соединим прямыми (·)A
с (·)C и
(·)A1
с (·)C . (Евклид:
постулат 1.)
4). <CDA = <CDA1 = d
(посылка леммы 7;
Евклид: предложение
13,
определение 10).
5). ▲CDA = ▲CDA1
(CD
─ общая, Л7-1: 2, 4;
Евклид: предложение 4).
6). AC = CA1
( Л7-1: 5;
Евклид: предложение 4).
7). <DCA = <DCA1
(см. Л7-1: 6 ).
8). <CAD = <CA1D
(см. Л7-1: 6 ).
9). <DCB = <DCB1 = d
(см. Л7-1: 4 ).
10). <ACB = <A1CB1
( Л7-1: 7, 9;
Евклид: аксиома 3).
11). ▲CBA = ▲CB1A1
( Л7-1: 2, 6, 10;
Евклид: предложение 4).
12). BA = B1A1
( Л7-1: 11;
Евклид: предложение 4).
13). <CAB = <CA1B1
(см. Л7-1: 12).
14). <ABC = <A1B1C = d
( Л7-1: 11;
Евклид: предложение 4;
посылка леммы 7;
Евклид: аксиома 1).
15). <BAD = <B1A1D = d
( Л7-1: 8, 13;
Евклид: аксиома 2;
посылка леммы 7;
Евклид: аксиома 1).
[к содержанию]
Л7-2. Вторая ступень.
1). На прямой a, от (·)A1, отложим
отрезок, равный DA1 (см.
рис.7 *****
): получим
(·)A2. На
прямой b,
от (·)B1, отложим
отрезок, равный CB1: получим
(·)B2.
(Евклид: предложение 3.)
Рис. 7.
2). DA1 = CB1 = B1B2 = A1A2
( Л7-1: 2, Л7-2: 1;
Евклид: аксиома 1).
3). Соединим точки A2 и B2 прямой
линией, а также соединим прямыми (·)D
с (·)B1 и
(·)A2 с
(·)B1. (Евклид:
постулат 1).
4). <B1A1D = <B1A1A2 = d
( Л7-1: 15; Евклид:
предложение 13, определение 10).
5). ▲B1A1D = ▲B1A1A2
(B1A1 ─ общая, Л7-2: 2, 4; Евклид:
предложение 4).
6). DB1 = B1A2
( Л7-2: 5;
Евклид: предложение 4).
7). <A1B1D = <A1B1A2
(см. Л7-2: 6 ).
8). <B1DA1 = <B1A2A1
(см. Л7-2: 6 ).
9). <A1B1C = <A1B1B2 = d
( Л7-1: 14; Евклид:
предложение 13, определение 10).
10). <DB1C = <A2B1B2
( Л7-2: 7, 9;
Евклид: аксиома 3).
11). ▲B1CD = ▲B1B2A2
( Л7-2: 2, 6, 10;
Евклид: предложение 4).
12). CD = B2A2
( Л7-2: 11;
Евклид: предложение 4).
13). <B1DC = <B1A2B2
(см. Л7-2:
12 ).
14). <DCB1 = <A2B2B1 = d
( Л7-2: 11;
Евклид: предложение 4;
Л7-1: 9;
Евклид: аксиома 1).
15). <CDA1 = <B2A2A1 = d
( Л7-2: 8, 13;
Евклид: аксиома 2;
Л7-1: 4;
Евклид: аксиома 1).
[к содержанию]
Л7-3. Третья ступень.
1). На прямой a, от (·)A2, отложим
отрезок, равный A1A2 (см. рис.
8 *****
): получим
(·)A3. На
прямой b,
от (·)B2, отложим
отрезок, равный B1B2: получим
(·)B3.
(Евклид: предложение 3).
2). A1A2 = B1B2 = B2B3 = A2A3
( Л7-2: 2, Л7-3: 1;
Евклид: аксиома 1).
3). Соединим точки A3 и B3 прямой
линией, а также соединим прямыми (·)A1 с (·)B2
и (·)A3 с (·)B2.
(Евклид: постулат 1.)
4). <B2A2A1 = <B2A2A3 = d
( Л7-2: 15; Евклид:
предложение 13, определение 10).
5). ▲B2A2A1 = ▲B2A2A3
(B2A2 ─ общая, Л7-3: 2, 4; Евклид:
предложение 4).
6). A1B2 = B2A3
( Л7-3: 5;
Евклид: предложение 4).
Рис. 8.
7). <A2B2A1 = <A2B2A3
(см. Л7-3: 6 ).
8). <B2A1A2 = <B2A3A2
(см. Л7-3: 6 ).
9). <A2B2B1 = <A2B2B3 = d
( Л7-2: 14;
Евклид: предложение 13, определение 10).
10). <A1B2B1 = <A3B2B3
( Л7-3: 7, 9;
Евклид: аксиома 3).
11). ▲B2B1A1 = ▲B2B3A3
( Л7-3: 2, 6, 10;
Евклид: предложение 4).
12). B1A1 = B3A3
( Л7-3: 11;
Евклид: предложение 4).
13). <B2A1B1 = <B2A3B3
(см. Л7-3: 12 ).
14). <A1B1B2 = <A3B3B2 = d
( Л7-3: 11;
Евклид: предложение 4;
Л7-2: 9;
Евклид: аксиома 1).
15). <B1A1A2 = <B3A3A2 = d
( Л7-3: 8, 13;
Евклид: аксиома 2;
Л7-2: 4;
Евклид: аксиома 1).
[к содержанию]
Аналогично проводятся последующие
ступени доказательства.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. .
Л7-n. n-ая ступень (общий случай **** ).
Рис. 9.
1). На прямой a, от точки An-1, отложим
отрезок, равный An-2An-1 (см.
рис. 9*****):
получим точку An. На прямой b, от точки Bn-1, отложим
отрезок, равный
Bn-2Bn-1: получим
точку Bn. (Евклид:
предложение 3).
2). An-2An-1 = Bn-2Bn-1 = Bn-1Bn = An-1An
( Л7-(n-1): 2; Л7-n: 1;
Евклид: аксиома 1).
3). Соединим точки An
и Bn прямой
линией, а также соединим прямыми (·)An-2
с (·)Bn-1 и
(·)An с (·)Bn-1
. (Евклид: постулат
1.)
4). <Bn-1An-1An-2 = <Bn-1An-1An = d
( Л7-(n -1): 15; Евклид:
предложение 13,
определение
10).
5). ▲Bn-1An-1An-2 = ▲Bn-1An-1An
(Bn-1An-1 ─ общая, Л7-n: 2, 4;
Евклид: предложение 4).
6). An-2Bn-1 = Bn-1An
( Л7-n: 5; Евклид:
предложение 4).
7). <An-1Bn-1An-2 = <An-1Bn-1An
(см. Л7-n: 6 ).
8). <Bn-1An-2An-1 = <Bn-1AnAn-1
(см. Л7-n: 6 ).
9). <An-1Bn-1Bn-2 = <An-1Bn-1Bn = d
( Л7-(n-1): 14; Евклид:
предложение 13,
определение 10).
10). <An-2Bn-1Bn-2 = <AnBn-1Bn
( Л7-n: 7, 9; Евклид:
аксиома 3).
11). ▲An-2Bn-2Bn-1 = ▲AnBnBn-1
( Л7-n: 2, 6, 10; Евклид:
предложение 4).
12). Bn-2An-2 = BnAn
( Л7-n: 11; Евклид:
предложение 4).
13). <Bn-1An-2Bn-2 = <Bn-1AnBn
(см. Л7-n: 12 ).
14). <An-2Bn-2Bn-1 = <AnBnBn-1 = d
( Л7-n: 11; Евклид:
предложение 4;
Л7-(n-1): 9; Евклид:
аксиома 1).
15). <Bn-2An-2An-1 = <BnAnAn-1 = d
( Л7-n: 8, 13;
Евклид: аксиома 2;
Л7-(n-1): 4; Евклид:
аксиома 1).
[к содержанию]
Л7-(n +1). (n +1)-ая ступень.
Рис. 10.
1). На прямой a, от точки An, отложим отрезок, равный An-1An (см. рис. 10 ***** ):
получим точку An+1. На
прямой b,
от точки Bn, отложим отрезок,
равный Bn-1Bn:
получим точку Bn+1.
(Евклид: предложение 3).
2). An-1An = Bn-1Bn = BnBn+1 = AnAn+1
( Л7-n: 2; Л7-(n +1): 1; Евклид: аксиома 1).
3). Соединим точки An+1 и Bn+1 прямой
линией, а также соединим прямыми (·)An-1
с (·)Bn
и (·)An+1
с (·)Bn. (Евклид:
постулат 1).
4). <BnAnAn-1 = <BnAnAn+1 = d
( Л7-n: 15; Евклид:
предложение 13,
определение 10).
5). ▲BnAnAn-1 = ▲BnAnAn+1
(BnAn ─ общая, Л7-(n +1): 2, 4;
Евклид: предложение 4).
6). An-1Bn = An+1Bn
( Л7-(n +1): 5;
Евклид: предложение 4).
7). <AnBnAn-1 = <AnBnAn+1
(см. Л7-(n +1): 6 ).
8). <BnAn-1An = <BnAn+1An
(см. Л7-(n +1): 6 ).
9). <AnBnBn-1 = <AnBnBn+1 = d
( Л7-n: 14; Евклид:
предложение 13,
определение 10).
10). <An-1BnBn-1 = <An+1BnBn+1
( Л7-(n +1): 7, 9;
Евклид: аксиома 3).
11). ▲BnBn-1An-1 = ▲BnBn+1An+1
( Л7-(n +1): 2, 6, 10;
Евклид: предложение
4).
12). Bn-1An-1 = Bn+1An+1
( Л7-(n +1): 11; Евклид:
предложение 4).
13). <BnAn-1Bn-1 = <BnAn+1Bn+1
(см. Л7-(n +1): 12 ).
14). <An-1Bn-1Bn = <An+1Bn+1Bn = d
( Л7-(n +1): 11; Евклид:
предложение 4;
Л7-n: 9;
Евклид: аксиома 1).
15). <Bn-1An-1An = <Bn+1An+1An = d
( Л7-(n +1): 8, 13;
Евклид: аксиома 2;
Л7-n: 4; Евклид:
аксиома 1).
[к содержанию]
Результатами рассуждений, проделанных
на n +1 ступенях,
являются следующие
заключения:
BnAn | a
( Л7-n: 15 );
Bn+1An+1 | a
( Л7-(n +1): 15 );
AnBn | b
( Л7-n: 14 );
An+1Bn+1 | b
( Л7-(n +1): 14 );
AD = DA1 = A1A2 =
. . . = An-1An = AnAn+1 =
= BC = CB1 = B1B2 =
. . . = Bn-1Bn = BnBn+1
( Л7-1: 2, Л7-2: 2, . . . , Л7-(n +1): 2;
Евклид: аксиома 1).
Это означает, что четырехугольник AnBnBn+1An+1
является прямоугольным.
Если теперь выбрать n достаточным для применения аксиомы
Архимеда по
отношению к сторонам AD и AE предпосылаемых
леммой 7 фигур,
то можно
утверждать одно из альтернативных окончаний проводимого сопоставления:
либо AAn = AE ,
либо
AAn « AE « AAn+1 .
В случае совмещения точек An и E перпендикуляр BnAn к прямой a
должен
совместиться со стороной FE
четырехугольника ABFE,
которая также
перпендикулярна прямой a (противное
противоречит лемме 1);
причем точка Bn
должна совместиться с точкой F,
поскольку обе эти точки лежат также и на прямой b.
Но <AnBnBn-1 = d
(см.
Л7-n: 14 ); значит, и угол EFB, стороны которого
совмещаются со сторонами угла AnBnBn-1,
является прямым (Евклид: аксиомы 7 и 1).
В случае же, когда точка E оказывается между
точками An
и An+1, точка F, как
лежащая на прямой b, должна
располагаться между точками Bn
и Bn+1
(иное
противоречит лемме 2:
FE | a ). А
поскольку четырехугольник AnBnBn+1An+1
является прямоугольным, угол EFB
должен быть тоже прямым (ведь при тупом угле,
или остром, имело бы место противоречие первой основной теореме
Лежандра:
либо SUM<{AnBnFE}
» 4d
при <EFBn » d ,
либо SUM<{EFBn+1An+1} » 4d
при <EFBn
« d
).
Следовательно: <BFE = d.
Что и требовалось доказать.
[к содержанию]
Перехожу
к основному вопросу.
Предположение, на котором основываются
возражения против утверждений
леммы 3 (см. статью 1,
примечание 4), с помощью введенных в этой статье
определений можно переформулировать так ******:
если некоторые четыре прямые линии
удовлетворяют
посылкам леммы 3
и при этом один из внутренних углов, образованных
ими, является острым, то
опускаемая П-ломаная линия, порождаемая этими
прямыми, не достигает ту
из них, к которой эта П-ломаная
приближается, при любом числе ее сторон,
каким бы большим
оно ни было.
Такое предположение, если оно
принимается, означает прежде всего, что угол,
противолежащий прямому углу, с вершиной которого совмещено начало
опускаемой
П-ломаной линии, постулируется либо острым, либо прямым, поскольку при
тупом
угле опускаемая П-ломаная линия имеет по крайней мере по одной общей
точке с
каждой из обеих параллельных прямых линий (см. леммы 4
и 5).
Сразу же нужно сказать, что ситуация,
обусловленная допущением острого угла,
содержит в себе и ситуацию, обусловленную допущением прямого угла.
В самом деле (см. рис. 11*****),
если допустить, что внутренний угол,
образованный прямой линией ba.a. с
прямой линией d,
является острым, то через
точку F можно провести прямую линию, перпендикулярную прямой d
(пусть br.a.
будет
такая прямая; лемма 1).
Более того, прямая br.a.
должна пересекать прямую d
в
некоторой точке Br.a.,
лежащей между точками Ba.a.
и A (иное
расположение
точки Br.a.
противоречит либо лемме
1, либо лемме 2, либо теореме о внешнем угле
треугольника), а
угол Br.a.FE должен быть острым, как часть
острого угла Ba.a.FE.
По этой причине все
заключения, сделанные для ситуации, обусловленной
допущением прямого угла, будут сохранять силу и в ситуации,
обусловленной
допущением острого угла. И по этой же причине речь далее пойдет только
о
ситуации, обусловленной
допущением прямого
угла.
Рис. 11.
С другой стороны, рассматриваемое
предположение, если оно принимается,
означает также, что возле прямой линии, к которой приближается
опускаемая
П-ломаная линия, постулируется область, точек которой эта П-ломаная
тоже не
достигает. (Если бы это было не так, то опускаемая П-ломаная, как линия,
самовоссоздающая условия для своего продолжения, пересекала бы
названную
прямую, что противоречило бы ключевому предположению.)
Вот с учетом зтих двух допущений,
содержащихся в неявной форме в исходном
предположении, и надлежит исследовать таковое на предмет правомерности.
[к содержанию]
Итак, пусть a, b, c, d
будут прямые линии, удовлетворяющие посылкам леммы 3
(см. рис. 12 *****),
а A,
B,
F,
E
─ точки пересчения названных прямых; и пусть эти
прямые образуют следующие углы:
<BAE = d
( d | a ),
<FEA = d
( c | a ),
<BFE « d .
Повторяю: перечисленные условия являются посылками леммы 3.
Рис. 12.
На эти условия накладываются
дополнительно
условия, составляющие суть
принимаемого предположения, а именно:
1П. В условиях, удовлетворяющих посылкам леммы 3, опускаемая
П-ломаная линия
не достигает прямой линии, к
которой она приближается.
2П.
<FBA = d .
3П. Возле прямой линии, к которой приближается опускаемая
П-ломаная линия,
имеется область, точек
которой эта П-ломаная не достигает.
На прямой b, в
предполагаемой области
недосягаемости (3П), возьмем
произвольно точку C и
проведем через нее
перпендикуляр к прямой a (лемма 1):
получим точку D и равенство
<CDA = <CDE = d
(Евклид: определение 10).
Вот в четырехугольнике ABCD три угла являются
прямыми:
<BAD = d
(посылка леммы 3),
<CBA = d
(предполагаемое условие 2П),
<CDA = d
(построение перпендикуляра CD).
Спрашивается: к какой категории углов
относится четвертый угол BCD ?
Угол BCD
не может быть тупым, поскольку сумма углов четырехугольника не
может быть больше 4d
(аналог первой основной
теоремы Лежандра).
Угол BCD
не может быть острым: если <BCD « d
,
то <FCD » d
(Евклид:
предложение 13), и
возникают предпосылки для выполнения лемм 4 и 5, что
противоречит предполагаемому условию 3П.
Наконец, угол BCD не может быть прямым, так
как при <BCD = d
четырехугольник ABCD
будет прямоугольным, вследствие чего должен быть прямым
и угол BFE (лемма 7),
что противоречит исходному условию, уточняющему
расположение рассматриваемых прямых (<BFE
« d
).
Значит, если рассматриваемое
предположение принимается, то оказывается
допустимой мысль о возможности построения четырехугольника, три угла
которого
являются
прямыми, а четвертый угол не может быть ни тупым, ни острым,
ни прямым углом.
Это и есть один из примеров той
бессмыслицы, что
возникает при принятии
рассмотренного предположения.
[к содержанию]
Заканчиваю.
Правы были те читатели первой статьи,
которые усомнились в полноте
доказательства, приведенного в ней, поскольку путь от наведения к
утверждению
проходит через все три статьи. Действительно (см. статью 1), только при
допущении
четвертого внутреннего угла в пересечении прямых, удовлетворяющих
посылкам
леммы 3, тупым становится
возможным утверждение пересечения опускаемой
П-ломаной линии с той из указанных прямых, к которой эта П-ломаная
приближается
(леммы 4 и 5). А поскольку иное
допущение абсурдно, такая
возможность является
единственной.
Что и требовалось доказать.
____________
ЛИТЕРАТУРА
1. НАЧАЛА ЕВКЛИДА. Книги I-VI., ОГИЗ ГИТТЛ, Москва - Ленинград,
1948.
2. В.Ф. КАГАН. Основания геометрии. Часть I., ГИТТЛ, Москва -
Ленинград, 1949.
ПРИМЕЧАНИЯ
*
См. Статью 1, рубрику ОБОЗНАЧЕНИЯ.
**
См. Статью 2. При каждом особом исходе опускаемая
П-ломаная линия
совмещается с
восставленной П-ломаной линией, и необходимость в
доказательстве
пересечения первой с прямой линией, к которой она
приближается,
отпадает.
*** И в
этой статье, как и в первых двух, ссылки на установки Евклида даны
соответственно
его первой книге. См. ПРИЛОЖЕНИЕ
к Статье 1.
**** Частным
случаем логично считать совмещение перпендикуляра BnAn со
стороной FE.
***** В этой
работе рисунки отображают построения (и результаты построений),
которые подробно излагаются в строках текста, расположенных по соседству
с соответствующими рисунками, и потому я не привожу альтернативный
текст.
****** Это
предположение и следствия из него излагаю в изъявительном
наклонении ввиду того, что нереальность его не является явной, но
требует
доказательства.
СОДЕРЖАНИЕ
Начало третьей статьи
Фрагмент об основных понятиях теории П-ломаных
линий
ЛЕММА 4
Фрагмент о понятии пересечения П-ломаной и
прямой линий
ЛЕММА 5
ЛЕММА 6
ЛЕММА 7
Первая ступень
доказательства леммы 7
Вторая ступень
Третья ступень
n-ая ступень
(n + 1) -ая ступень
Результаты,
полученные на (n
+1) ступенях доказательства леммы 7
Завершение
доказательства леммы 7
Фрагмент об абсурдности довода против утверждений
леммы 3
Завершение доказательства леммы 3
ЛИТЕРАТУРА
ПРИМЕЧАНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ
Начало первой статьи
Содержание первой статьи
Начало второй статьи
Содержание второй статьи
Начало третьей статьи
*
* *
Используются технологии
uCoz