Санкт-Петербург
2013
(1970)
Эдуард В. Двинин
ПЯТЫЙ "ПОСТУЛАТ" ЕВКЛИДА
( Доказательство )
Статья вторая
В первой статье, выпущенной в свет под
таким же названием, приведена сущность
работы автора по решению проблемы пятого постулата.
Отправными началами для этой работы
послужили достижения геометрической
мысли прошлого, и потому с краткого напоминания о них надо начать
вторую статью.
Насир-Эддин ат Туси (XIII век) и Адриен
Мари Лежандр (XVIII век) проделали
вывод пятого постулата на основе допущения о равенстве суммы углов
треугольника
двум прямым углам и тем установили эквивалентность пятого постулата и
допущения,
из которого они исходили (на
основе пятого постулата это допущение было доказано,
по крайней мере, в III веке до н. э. (Евклид:
предложение 1.32).
Результатом их трудов явился еще один
аспект проблемы, а именно: для решения
ее достаточно доказать, что во всяком треугольнике сумма углов равна
(или не равна)
двум прямым углам, но доказать без использования пятого постулата или
эквивалентных ему допущений.
Естественно, в таком виде проблема
казалась менее сложной, чем в
первоначальном, поскольку каждый треугольник ограничен протяженностью
сторон.
Более того, теперь не только было логично предполагать возможность
теоретического
доказательства допущения Туси-Лежандра, но и было допустимо утверждать
осуществимость его экспериментального доказательства. Однако, ввиду
важности
решения проблемы для естествознания, а также ввиду недостаточной
точности
инструментов, которыми располагали тогда ученые, мысль о возможности
экспериментального доказательства была отвергнута , и потому
единственным путем
решения проблемы пятого
постулата по-прежнему считался путь теоретический.
В поисках такого решения Лежандр получил
еще два феноменальных результата,
относимые ныне к абсолютной геометрии.
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ЛЕЖАНДРА. Сумма
трех углов треугольника не
может быть больше двух прямых углов. ([2],
стр. 133.)
ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ЛЕЖАНДРА. Если
в одном треугольнике сумма
внутренних углов равна 2d, то она равна 2d во всяком другом треугольнике.
([2],
стр.141.)
Эти две теоремы Лежандра, наряду с
теоремой о внешнем угле треугольника
(Евклид: предложение 1.16) и с теоремой о том, что во
всяком
треугольнике больший
угол стягивается большей стороной (Евклид:
предложение 1.19), а также
аксиома
Архимеда и аксиома Паша являются ключевыми к настоящей работе.
АКСИОМА АРХИМЕДА (упрощенная формулировка). Каковы бы ни были два
отрезка, меньший из них, будучи повторен
достаточное число раз, превзойдет
больший. ([2],
стр.96.)
АКСИОМА ПАША (упрощенная формулировка). Если прямая, пересекающая сторону
треугольника, входит внутрь его, то она должна из него выйти, т. е.
должна
встретить периферию треугольника еще в одной точке. ([2],
стр.121.)
Несколько слов о так называемой абсолютной геометрии ([2],стр.
154÷155).
По современным воззрениям материал
абсолютной геометрии составляют все
понятия и положения, которые принимаются в качестве исходных для
построения как
геометрии Евклида, так и геометрии гиперболической, за исключением
пятого
постулата, предложений, эквивалентных ему, и за исключением гипотез,
противоречащих пятому постулату непосредственно или косвенно; а также ─ все те
геометрические положения, которые логически выводятся из принятых.
На этом материале (и только на этом
материале!) построена настоящая работа.
Идея работы заключается в доказательстве
теоремы о равенстве суммы внутренних
углов прямоугольного треугольника двум прямым углам. (Согласно второй
основной
теореме Лежандра, такой результат означает равенство суммы
углов 2d
в любом
треугольнике.) Для построения
же доказательства этой теоремы
необходимо
предварительно доказать пару вспомогательных утверждений, которые я
назвал
леммой 3. Лемма 3, таким
образом, оказывается тем основополагающим
доводом,
который обращает пятый постулат
и эквивалентные ему допущения в теоремы,
а потому ее доказательство должно быть безукоризненным.
На выполнение этой задачи и нацелена настоящая
статья. Она содержит
доказательство того случая леммы, когда при детерминировании исходных
данных
внутренний угол первого сечения оказывается тупым.
НЕКОТОРЫЕ ПОДРОБНОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММЫ 3
Пусть a, b, c, d суть
прямые, удовлетворяющие посылкам леммы 3, точки A,
B,
E,
F
─ точки пересечений этих
прямых, а <FBA
─ тупой угол (см. рис. 1 ******).
Рис. 1.
Непосредственно из формулировки исходных
данных следует, что угол BFE
может
быть только острым, ибо противное противоречит первой
основной теореме
Лежандра.
В самом деле, если бы было допущено
равенство <BFE = d *,
то сумма
внутренних углов фигуры ABFE
оказалась
бы больше 4d
:
SUM<{ABFE} = SUM<▲ABF +
SUM<▲AEF =
= <FBA +
<BAE + <AEF + <BFE =
= тупой + d
+ d
+ "d " » 4d ;
предположение же <BFE »d
делало бы это противоречие еще нагляднее.
Стало быть, первая
часть леммы 3 ─ утверждение
об углах ─ доказана.
[к содержанию]
Доказательство второй части леммы ─ утверждения об отрезках ─ строится на
основе девятнадцатого предложения Евклида: посредством рассечения
области,
заключенной между исходными прямыми, на треугольники и сравнения сторон
образованных треугольников друг с другом и с отрезками исходных
прямых.
Способ рассечения
состоит в следующем**:
через
точку B проводится
перпендикуляр к прямой b до
пересечения с прямой a, через их
точку пересечения
проводится перпендикуляр к прямой a до
пересечения с прямой b, через
полученную
вновь точку пересечения проводится перпендикуляр к прямой b до
пересечения с
прямой a;
и так далее ─ до тех пор, пока один из перпендикуляров к прямой b
поимеет общую точку с отрезком FE.
Возможность таких рассечений, т. е.
существование точек пересечений
перпендикуляров, проводимых поочередно к прямым a и b, с прямыми b и a
(соответственно), а также существование общей точки у одного из
перпендикуляров к
прямой b
и у отрезка FE,
обосновывается аксиомой Паша и следующими
рассуждениями (см. рис. 2 ******).
Через (·)A
проводим прямую e,
перпендикулярную прямой b (лемма 1);
(·)G
─ точка
пересечения прямых e и b.
Через (·)E проводим прямую f,
перпендикулярную прямой b; (·)D ─ точка
пересечения прямых f и b.
Рис. 2.
Расположение точек B, F, G, D на прямой b
обуславливается расположением
исходных прямых и полностью описывается тремя
возможностями:
(·)D
лежит между (·)G и (·)B,
(·)D совмещается с (·)B,
(·)D лежит между (·)B и (·)F.
(Иное расположение точек противоречит либо теореме о внешнем угле
треугольника,
либо исходной посылке леммы 3 [<FBA
» d
], либо , утвержднию леммы 3 об углах,
либо лемме 1, либо лемме 2.)
Рассмотрим каждую из возможностей.
[к содержанию]
(·)D лежит между (·)G и (·)B. ─
ОРДИНАРНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ЛЕММЫ 3.
Этот случай логично рассматривать как частный ввиду того, что
перпендикуляр
к прямой b,
восставленный в точке B,
сечет отрезок FE ; при этом
надобность в
построении последующих перпендикуляров отпадает.
В самом деле, пусть прямая g (см. рис. 3
******)
и есть названный
перпендикуляр (лемма
1). В силу аксиомы Паша, она - как секущая сторону DF
треугольника EDF - должна
пересечь еще одну сторону этого треугольника.
Но пересекать сторону DE
прямая g
не может: ведь прямые g
и f перпендикулярны
прямой b
(лемма 2); значит, g
пересекает FE в некоторой
точке P.
Рис. 3.
Ординарным же его следует считать ввиду
множества на отрезке FE
точек
(исключая точки E и F), каждая из которых может
оказаться точкой пересечения
типа (·)P.
Для рассматриваемого случая соотношение
отрезков BA и FE устанавливается из
анализа треугольников BAE и EBF, возникающих при соединении
точек E и B
прямой линией (Евклид ***:
постулат
1).
В треугольнике BAE :
<BAE = d
(посылка леммы 3: c | a ; Евклид: определение
10);
<BEA « d
как часть <FEA=d
(посылка леммы 3: d | a ;
Евклид: определения 10, 12, аксиома 8);
<ABE « d
как часть <PBG=d (построение прямой g
Евклид: определения 10, 12, аксиома 8);
BA « EB
(Евклид: предложение 19).
В треугольнике EBF :
<EBF » d
как
сумма <PBF=d
и <PBE, являющегося
частью <PBD=d
(построения прямых g и BE; Евклид:
определения 10,
11, 12 ****,
аксиома
8);
<BFE « d
(см. доказательство утверждения леммы 3 об углах);
<FEB « d
как часть <FEA=d
(посылка
леммы 3: d | a);
EB «
FE
(Евклид: предложение 19).
Стало
быть: BA
« FE .
(·)D совмещается с (·)B. ─
НЕОРДИНАРНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ЛЕММЫ 3.
Особенность, присущая этим частным
случаям (см. рис. 4 ******),
заключается в
том, что перпендикуляр g к прямой b,
восставленный в точке B│D ,
совмещается с
прямой f, т. е. имеет общую с отрезком FE точку P°│E; следующий же перпендикуляр
─ перпендикуляр к прямой a,
восставленный в точке P°│E ─
совмещается с прямой d.
Рис. 4.
В треугольнике BAE :
<BAE = d
(посылка леммы 3: c | a );
<BEA « d
как часть <FEA=d
(посылка леммы 3: d | a);
<EBA
« d
как часть <EBG=d
(построения прямых
f
и g);
BA « EB
(Евклид: предложение 19).
В треугольнике EBF :
<EBF = d
(условие рассматриваемого частного случая);
<BFE « d
(см. доказательство
утверждения леммы 3 об
углах);
<FEB « d
как часть <FEA=d (посылка леммы 3: d | a );
EB « FE
(Евклид: предложение 19).
Стало
быть: BA
« FE .
[к содержанию]
(·)D лежит между (·)B и (·)F. ─ СИТУАЦИЯ РАССЕЧЕНИЙ.
В ситуациях с таким признаком
доказательство осуществляется посредством
рассечений. Делается это так.
Первый цикл
рассечений.
Через точку B проводится (см. рис. 5 ******)
перпендикуляр к прямой b (лемма 1).
Пусть прямая g1 будет таким перпендикуляром.
Для доказательства пересечения
прямых g1 и a точки
A и D соединяются прямой
линией (Евклид: постулат 1).
Прямая g1 ─ как секущая сторону GD
треугольника AGD ─ должна пересечь еще
одну сторону этого треугольника (аксиома Паша).
Пересекать AG она не может:
ведь
прямые g1 и e
перпендикулярны b
(лемма 2); следовательно, g1
сечет AD .
Рис. 5.
Далее, прямая g1 ─ как секущая сторону AD треугольника ADE ─ должна пересечь
еще одну сторону треугольника ADE
(аксиома Паша). Пересекать DE
она не может:
ведь прямые g1 и f перпендикулярны b (лемма 2);
следовательно, g1
сечет AE
в некоторой точке A1 .
Результатами проделанного первого
рассечения являются точка A1, которая
ближе
расположена к точке E , чем
точка A , и
треугольник BAA1 , в
котором:
<BAA1 =
d
(посылка леммы: c | a );
<A1BA « d
как
часть <A1BG=d
( g1 | b );
<BA1A « d
как внутренний угол треугольника BAA1 , не смежный с внешним
прямым углом (Евклид:
предложение16);
BA «
A1B
(Евклид: предложение 19).
[к содержанию]
Теперь через точку A1
проводится перпендикуляр к прямой a (пусть
прямая l1
будет таким перпендикуляром) и доказывается его пересечение с прямой b
(см. рис. 6 ******).
Здесь для применения аксиомы
Паша
необходимо соединить прямой линией
точки B и E .
Рис. 6.
Прямая l1 ─
как секущая сторону AE
треугольника BAE ─
должна пересечь еще одну
сторону этого треугoльника (аксиома Паша). Пересекать
BA она не может: ведь
прямые c
и l1
перпендикулярны a
(лемма 2); следовательно, l1 сечет BE .
И та же прямая l1 ─ как
секущая сторону BE
треугольника BFE ─ должна
пересечь
еще одну сторону треугольника BFE
(аксиома Паша). Пересекать FE
она не может,
поскольку прямые l1 и d
перпендикулярны a
(лемма 2); следовательно, l1 сечет BF
в некоторой точке B1 .
Результатами второго рассечения являются
точка B1, которая
ближе расположена
к точке F, чем точка B, и треугольник A1BB1, в которм:
<A1BB1 = d
( g1 | b );
<B1A1B « d
как часть <B1A1A=d
( l1 | a );
<BB1A1 « d
как внутренний угол
треугольника A1BB1, не
смежный с внешним
<A1BG=d (Евклид: предложение 16);
A1B « B1A1
(Евклид:
предложение 19).
Рассмотренная пара рассечений, как и каждая
последующая (если таковые будут
иметь место), составляет один цикл рассечений.
Результатами первого
цикла являются заключения:
▪ перпендикуляр l1 к
прямой a
образует с прямой b
неравные смежные углы;
причем соответственные
углы,
которые возникают в пересечениях
прямых,
перпендикулярных прямой a,
с прямой b,
являются углами одного и того
же
вида (либо
острые, либо тупые);
▪
<BB1A1 ─ острый угол;
▪ B1A1 ─ отрезок
перпендикуляра l1,
отсекаемый прямыми a
и b,
─ ближе
расположен к отрезку FE,
нежели отрезок BA;
▪
BA « A1B « B1A1 ;
▪ неопределенность расположения точек B1 и D на отрезке BF.
Положение точки B1 на
отрезке BF определяется
расположением
прямых a,
b, c, d
и
полностью описывается тремя возможностями:
(·)B1
лежит между (·)D и (·)F,
(·)B1
совмещается с (·)D,
(·)B1
лежит между (·)D и (·)B.
В ситуациях, предопределяющих первую или вторую из возможностей,
корректность
утверждения об отрезках
устанавливается непосредственно после первого
цикла;
в условиях реализации третьей возможности необходимы
последующие рассечения.
[к
содержанию]
(·)B1 лежит между (·)D и (·)F. ─ Обыкновенный исход после
первого цикла
рассечений.
Здесь (см. рис. 7 ******) доказательство
аналогично
проделанному для
ординарного частного случая.
Действительно, прямая g2 ─ как перпендикуляр к
прямой b,
восставленный в
точке B1 (лемма 1), ─ пересекает отрезок FE в некоторой точке P1 (аксиома
Паша в
применении к треугольнику EDF
и прямой, перпендикулярной его катету).
Соотношение же отрезков B1A1 и FE устанавливается из треугольников
B1A1E
и EB1F, возникающих при соединении точек
B1 и E прямой.
Рис. 7.
В треугольнике B1A1E:
<B1A1E = d
( l1 | a );
<A1B1E « d
как часть <P1B1D = d
( g2 | b );
<B1EA1 « d
как часть <FEA1 = d ( d | a
);
B1A1 « EB1
(Евклид:
предложение 19).
В треугольнике EB1F :
<EB1F » d
как угол, смежный с углом EB1D, являющимся частью <P1B1D =d
(Евклид: предложение 13);
<B1FE « d
(см. доказательство
утверждения леммы 3 об
углах);
<FEB1 « d
как часть <FEA1 = d
( d | a );
EB1 « FE
(Евклид: предложение 19).
Стало быть: B1A1 « FE
и BA «
FE .
(·)B1 совмещается с (·)D.─ Особый исход после
первого цикла рассечений.
Особенность случая (см. рис. 8 ******): перпендикуляр g2 к прямой b,
восставленный
в точке B1│D, совмещается с прямой f, т.е. имеет
общую с отрезком FE
точку P1°,
совмещающуюся с точкой E ;
следующий перпендикуляр ─
перпендикуляр
к прямой a,
восставленный в точке P1°│E , ─ совмещается с прямой d.
Рис. 8.
В треугольнике B1A1E :
<B1A1E = d
( l1 | a );
<B1EA1 « d
как
часть <FEA1 = d
(посылка
леммы: d | a );
<A1B1E « d
как часть <EDB = d
(условие
случая: ( f│g2) | b );
B1A1 « EB1
(Евклид: предложение
19).
В треугольнике EB1F :
<EB1F = d
( ( f│g2) | b );
<B1FE « d
(см.
доказательство утверждения леммы 3 об углах);
<FEB1 « d
как часть <FEA1 = d
( посылка леммы: d | a
);
EB1
«
FE
(Евклид:
предложение 19).
Стало быть: B1A1 « FE
и BA «
FE .
[к
содержанию]
(·)B1 лежит между (·)D и (·)B. ─ Ситуация рассечений, следующих
после 1-го цикла.
Рассматриваемая ситуация отличается от
исходной сокращением области
рассечений (см. рис. 5 и рис. 6) на
величину площади треугольников BAA1
и A1BB1,
отсеченных перпендикулярами g1
и l1 в
результате первого цикла. Поскольку же
перпендикуляр l1 образует
с прямой b
неравные смежные углы, возможно
продолжение рассечений.
С этого момента процедура
повторяется, и потому целесообразно представить ее
обобщение.
i -тый
цикл рассечений. ─ Точка Bi-1
лежит между точкой Bi-2 и
точкой D.
Существование точек пересечения
перпендикуляров, восставляемых
к прямым a
и b, с
прямыми b
и a,
соответственно, обосновывается применением
аксиомы Паша по схеме, приведенной в
первом цикле.
Рис. 9.
Прямая li-1,
проходящая через точку Ai-1
перпендикулярно прямой a, образует с
прямой b
острый угол
BBi-1Ai-1. Это
означает, что через точку Bi-1 может
быть
проведена прямая линия gi, перпендикулярная к прямой b (лемма 1),
и что
проведенная прямая gi пересекает прямую a в точке Ai, причем, точка Ai расположена
между точками Ai-1 и E (иное противоречит лемме 2:
gi-1 | b и f | b).
В треугольнике Bi-1Ai-1Ai (см. рис. 9 ******):
<Bi-1Ai-1Ai = d
( li-1 | a );
<AiBi-1Ai-1 « d
как часть <AiBi-1Bi-2 = d
( gi | b
);
<Bi-1AiAi-1 « d
как внутренний угол
треугольника Bi-1Ai-1Ai, не смежный с
внешним <Bi-1Ai-1A = d
( li-1 | a;
Евклид: предложение 16);
Bi-1Ai-1 « AiBi-1
(Евклид: предложение
19).
Теперь проводится перпендикуляр к прямой a
через точку Ai; пусть прямая li будет
таким перпендикуляром (лемма 1).
Точка Bi ─ как точка пересечения прямых li и b ─
расположена между точками Bi-1 и F (иное противоречит лемме 2:
li-1 | a
и d | a ).
B треугольнике AiBi-1Bi :
<AiBi-1Bi = d
( gi | b );
<BiAiBi-1 « d
как часть <BiAiAi-1 = d
( li | a
);
<Bi-1BiAi « d
как внутренний угол треугольника AiBi-1Bi, не смежный
с внешним <AiBi-1B = d
( gi | b
; Евклид:
предложение 16);
AiBi-1 «
BiAi
(Евклид: предложение
19).
Результатами i-того цикла рассечений
являются заключения:
▪ перпендикуляр li к прямой a образует с
прямой b
неравные смежные
углы;
причем
соответственные углы, которые возникают в
пересечениях прямых,
перпендикулярных прямой a, с
прямой b,
являются
углами одного и того
же
вида
(либо острые, либо тупые);
▪
<BBiAi ─ острый угол;
▪ BiAi ─ отрезок
перпендикуляра li , отсекаемый прямыми a
и b,
─ ближе
расположен к отрезку FE,
нежели отрезок Bi-1Ai-1 ;
▪ соотношения отрезков, устанавливаемые по
результатам i-того
цикла
рассечений и i
циклов, имеют
вид,
соответственно:
Bi-1Ai-1 « BiAi ,
BA « A1B « B1A1 « . .
. « Bi-1Ai-1 « AiBi-1 « BiAi ;
▪ неопределенность расположения точек Bi и D на отрезке Bi-1F .
Положение
точки Bi на отрезке Bi-1F определяется расположением прямых
a,
b,
c, d
и
полностью описывается тремя возможностями:
(·)Bi лежит между (·)D и (·)F. ─ Обыкновенный исход после i-того цикла
рассечений.
Обоснование истинности
утверждения леммы
3 об отрезках в этом случае
тождественно проделанному для обыкновенного исхода после
1-го цикла
(разумеется,
после замены индексов "1" и "2" на "i"
и "i+1",
соответственно).
(·)Bi совмещается с (·)D. ─ Особый исход после i-того
цикла рассечений.
И в этом случае доказательство
правомерности утверждения об отрезках повторяет
проделанное при анализе одноименного исхода после 1-го
цикла (тоже
после замены
индексов "1" и "2" на "i" и "i+1",
соответственно).
(·)Bi лежит между (·)Bi-1 и (·)D. ─ Ситуация
рассечений,
следующих после i-того
цикла.
И опять рассуждения повторяются . .
. Но ─ небесконечно!
[к содержанию]
Доказательство вырождения
ситуации рассечений
в ситуацию одного из исходов:
обыкновенного или особого.
Пусть в результате k+1 циклов рассечений
установлено (см. рис. 10 ******):
( gk | b
)
<AkBk-1Bk = d
;
( 1 )
( gk+1 | b
) <Ak+1BkBk-1 = d
;
( 2 )
( lk | a
)
<BkAkAk+1 = d
;
( 3 )
( lk+1 | a
)
<Bk+1Ak+1Ak = d ;
( 4 )
<BkAk+1Ak « d
( 5 )
(как внутренний угол треугольника BkAkAk+1, не
смежный с внешним прямым
углом BkAkAk-1;
Евклид: предложение 16);
<Ak+1Bk+1Bk « d
( 6 )
(как внутренний угол треугольника Ak+1BkBk+1, не
смежный с внешним прямым
углом Ak+1BkBk-1;
Евклид: предложение 16);
Bk-1Ak-1 « AkBk-1 « BkAk « Ak+1Bk « Bk+1Ak+1
( 7 )
(см. i-тый
цикл
рассечений).
Рис. 10.
[к содержанию]
Если теперь доказать, что каждый последующий
отрезок на прямой b, отсекаемый
соседними перпендикулярами к прямой a, больше
предыдущего, т. е.
BkBk+1 » Bk-1Bk ,
( 8 )
то проявится возможность применения аксиомы Архимеда
для установления
существования конца рассечений области, ограниченной прямыми,
удовлетворяющими посылкам леммы 3, как бы велика ни была эта область.
Нетрудно видеть, что путь к
доказательству неравентсва (8) проходит через
доказательство неравенств:
AkAk+1 » Bk-1Bk ,
( 9 )
и
BkBk+1 » AkAk+1
.
( 10 )
Для достижения этой цели необходимо провести дополнительные построения и
сопоставить построенные геометрические объекты.
На отрезке BkAk+1, от
точки Bk, отложим
отрезок, равный Bk-1Ak: получим
точку
Q и соотношение
BkQ = Bk-1Ak
( 11 )
(см. (7); Евклид:
предложение 3).
Соединим точки Q и Bk-1 прямой
линией, а также соединим прямой точки Q
и Ak
(Евклид: постулат 1).
Для построенной фигуры характерны
следующие соотношения:
▲AkBk-1Bk = ▲QBkBk-1
( 12 )
( Bk-1Bk ─ общая сторона, (11), (1),
(2); Евклид: постулат
4, предложение 4);
Bk-1Q = BkAk
( 13 )
(см. (12); Евклид:
предложение 4);
▲Bk-1AkQ = ▲BkQAk
( 14 )
( AkQ ─ общая сторона, (11),
(13); Евклид:
предложение 8);
<Bk-1AkQ = <BkQAk = є
( 15 )
(см. (14); Евклид:
предложение 8;
обозначение).
Относительно є необходимо
отметить, что таковой не может быть тупым углом:
если бы угол є
был тупой, сумма углов четырехугольника AkBk-1BkQ была бы
больше 4d, что
противоречило бы первой основной теореме Лежандра;
следовательно,
є =«
d .
( 16 )
[к содержанию]
Сравнение отрезков Bk-1Bk
и AkQ проводится посредством
сопоставления
треугольников Bk-1AkQ и QBkBk-1, о
которых известно следующее:
Bk-1Q ─ общая сторона,
QBk = AkBk-1
(см.
(11)),
<QBkBk-1 = d
(см.
(2)),
<Bk-1AkQ =« d
(см. (15),
(16)).
Введем в рассмотрение ▲Bk-1°Ak°Q° (см. рис. 11******)
так, чтобы выполнялось
условие:
▲Bk-1°Ak°Q° = ▲ Bk-1AkQ .
( 17 )
Рис. 11.
Треугольник Bk-1°Ak°Q° вычленяется из общего
построения посредством замены
обозначений; 2-е и 23-е предложения Евклида
являются геометрическим
обоснованием такой замены.
Условие (17) означает выполнение
соотношений:
(см.
(11))
Ak°Bk-1° = AkBk-1 = QBk ,
( 17а )
Q°Bk-1° =QBk-1
,
( 17б )
Ak°Q° = AkQ
,
( 17в )
(см.
(15))
<Bk-1°Ak°Q° = <Bk-1AkQ = є .
( 17г )
Теперь совместим вершину Bk-1° треугольника Bk-1°Ak°Q° с вершиной Q
треугольника QBkBk-1, а
сторону Bk-1°Q° ─ со стороной QBk-1, и
определим область
возможных положений вершины Ak°.
Рис. 12.
Изображенная на рисунке12****** дуга BkAk° (дуга окружности, описанной из
центра Q
радиусом QBk;
Евклид: постулат 3) может
рассматриваться как
геометрическое место точек для вершины Ak°, удовлетворяющих заключению (16).
Совмещаться с какой-либо из точек
треугольника QBkBk-1 (за
исключением Bk)
вершина Ak° не может: если бы такое
случилось, угол Bk-1°Ak°Q° оказался бы тупым
(см. (2),
(17г), (16); Евклид:
предложение 21), что
противоречило бы заключению (16).
А в иных точках, расположенных вне дуги,
не выполняется соотношение (17а).
Указанная область мыслимых положений
вершины Ak° означает, что углы
треугольников QBkBk-1 и Bk-1°Ak°Q° могут быть связаны
соотношениями:
<Ak°Bk-1°Q° » <BkQBk-1
для є « d
( 17д )
(Евклид: аксиома 8),
<Ak°Bk-1°Q° = <BkQBk-1
для є = d
(
17е )
(Евклид: аксиома 7);
соответственно, соотношения сторон этих треугольников могут выглядеть
так:
Q°Ak° » Bk-1Bk
для є « d
( 17ж )
(см. (17а), (17б), (17д); Евклид: предложение 24),
Q°Ak° = Bk-1Bk
для є = d
(
17з )
(см. (17а), (17б), (17е); Евклид: аксиома 7).
Следовательно (см. (17в), (17ж), (17з)):
AkQ »= Bk-1Bk .
( 18 )
Соотношение же отрезков AkQ и AkAk+1
устанавливается из треугольника
AkQAk+1, в
котором:
<AkQAk+1 »= d
(см. (15), (16); Евклид: предложение 13);
<QAkAk+1 « d
как часть
<BkAkAk+1 =
d
(см.
(3); Евклид: аксиома 8);
<QAk+1Ak «
d
(см. (5));
следовательно:
AkQ « AkAk+1
( 19 )
(Евклид: предложение 19).
И следовательно, неравенство (9) имеет
место в действительности (см. (9), (18),
(19)).
Также имеет в действительности место и
неравенство (10), которое доказывается
посредством аналогичных рассуждений на основе соотношений (3), (4),
(6), (7).
А неравенство (8) является обобщением
неравенств (9) и (10).
[к содержанию]
Итак, каждый последующий отрезок на
прямой b,
отсекаемый соседними
перпендикулярами к прямой a, больше
предыдущего. А по аксиоме Архимеда,
наращивание меньшего из сравниваемых отрезков (BB1 и BD, см. рис. 9)
предполагается выполнять посредством повторения его. Тем более
наращиваемый
отрезок должен превзойти любой наперед заданный в случае, когда каждый
последующий из добавляемых отрезков больше предыдущего, и потому процесс
рассечения области, ограниченной прямыми, удовлетворяющими посылкам
леммы 3,
должен окончиться.
На деле окончание представляется так.
Ситуация рассечений повторяется до тех
пор, пока не будут выполнены условия:
BBn-1 = SUM i=1÷(n-1)Bi-1Bi « BD
( 20.1 )
и
BBn = SUM i=1÷n
Bi-1Bi »=
BD ;
( 20.2 )
здесь n ─ число циклов
рассечений; отрезки же самих перпендикуляров,
восставленных в результате n
циклов, характеризуются соотношением (см. i-тый
цикл):
BA « A1B « B1A1 « . .
. « Bn-1An-1 « AnBn-1 « BnAn .
Выполнение условий (20)
означает, что перпендикуляр gn к прямой b (см. рис.13
и рис. 14), восставленный в точке Bn-1,
пересекает прямую a в
точке An, лежащей на
отрезке CE, началом которого
является основание перпендикуляра DC,
опущенного из
точки D на прямую a; причем
точка An может совместиться с
точкой C, ввиду чего
совмещение точки An с точкой E исключено. Выполнение условий
(20) также
означает, что перпендикуляр ln к прямой a,
восставленный в точке An,
пересекает
прямую b
в точке Bn, лежащей на
отрезке DF *****;
причем точка Bn может
совместиться с точкой D,
ввиду чего совмещение точки Bn
с точкой F исключено.
Локализация же точки Bn на отрезке DF означает наступление одного из
исходов,
подобных либо обыкновенному исходу
после i-циклов рассечений, либо особому;
и
потому для завершения доказательства
утверждения леммы 3 об отрезках
необходимо воспроизвести каждый из них.
(·)Bn лежит между (·)D и (·)F. ─ Обыкновенный исход после n
циклов рассечений.
См. рис. 13 ******.
Прямая gn+1 ─ как перпендикуляр к прямой b,
восставленный в точке Bn
(лемма 1), ─ пересекает
отрезок FE в некоторой точке Pn (аксиома
Паша
в применении к треугольнику EDF
и прямой, перпендикулярной его катету).
Соотношение отрезков BnAn и FE устанавливается из
треугольников BnAnE
и EBnF, возникающих при
соединении точек Bn
и E прямой линией.
Рис. 13.
В треугольнике BnAnE :
<BnAnE = d
( ln | a );
<AnBnE « d
как часть <PnBnD
= d
( gn+1 | b );
<BnEAn « d
как часть <FEAn
= d
( d | a );
BnAn «
EBn
(Евклид:
предложение 19).
В треугольнике EBnF :
<EBnF » d
как угол,
смежный с
углом EBnD, являющимся
частью
<PnBnD = d
( gn+1 | b
; Евклид:
предложение 13);
<BnFE « d
(см. доказательство
утверждения
леммы 3 об углах);
<FEBn « d
как часть <FEAn
= d
( d | a
);
EBn «
FE
(Еклид: предложение 19).
Стало быть: BnAn « FE
и BA «
FE .
[к содержанию]
(·)Bn совмещается с (·)D. ─ Особый исход после n
циклов рассечений.
См. рис. 14******.
Особенность случая: gn+1│f ─ перпендикуляр к прямой b,
восставленный в
точке Bn│D, ─ имеет c
отрезком FE общую
точку Pn°, совмещающуюся с
точкой E;
следующий перпендикуляр ─ перпендикуляр к прямой a,
восставленный в точке
Pn°│E, ─
совмещается с прямой d.
Рис. 14.
В треугольнике BnAnE :
<BnAnE = d
( ln | a );
<AnBnE « d
как часть <EBnBn-1 = d
(
(f│gn+1) | b
);
<BnEAn « d
как часть <FEAn =
d
( d | a );
BnAn «
EBn (Евклид:
предложение 19).
В треугольнике EBnF :
<EBnF = d
( (f│gn+1) | b );
<BnFE « d
(см.
доказательство утверждения леммы 3 об углах);
<FEBn « d
как часть <FEAn
= d
(
d | a
);
EBn «
FE
(Евклид: предложение 19).
Стало быть: BnAn « FE
и BA «
FE .
РЕЗЮМЕ.
Приведенные
аргументы подтверждают утверждения леммы 3 (об углах
и об отрезках) в случае,
когда прямые линии, удовлетворяющие посылкам
леммы,
образуют в первом сечении тупой внутренний угол.
Что и требовалось доказать.
____________
ЛИТЕРАТУРА
1. НАЧАЛА ЕВКЛИДА. Книги I - VI, ОГИЗ ГИТТЛ, М.-Л., 1948.
2. В.Ф. КАГАН. Основания геометрии. Ч.I. ГИТТЛ, М.-Л., 1949.
ПРИМЕЧАНИЯ
*
См. Статью 1, рубрику
ОБОЗНАЧЕНИЯ.
**
Частные случаи этого обобщения, обусловленные вариациями взаимного
расположения прямых a, b, c, d,
раскрываются по ходу доказательства.
***
Здесь и далее ссылки на установки Евклида даны соответственно его первой
книге. См.
ПРИЛОЖЕНИЕ к Статье 1.
**** Далее, во
избежание повторов, я не привожу ссылки на 10-е, 11-е и 12-е
определения Евклида, поскольку любой угол может быть отнесен только к
одному из
трех типов, названных этими определениями. Также в сходных
ситуациях
я опускаю ссылки на 8-ю
аксиому Евклида.
***** Пересечение
перпендикуляра ln с отрезком DF прямой b
обосновывается
следующим образом. Точка Bn
совмещается с точкой D
в случае, когда ln
совмещается с перпендикуляром DC.
В общем же случае перпендикуляр ln,
восставленный в точке An,
лежащей на отрезке CE,
пересекает сторону DE
треугольника DCE (DC | a; аксиома
Паша, лемма 2). И этот
же перпендикуляр
ln, как секущий сторону DE треугольника FDE, должен пересечь еще одну
сторону ▲FDE (аксиома
Паша).
Но пересекать сторону FE
прямая ln не может,
поскольку ln и d
перпендикулярны прямой a (лемма 2);
следовательно, ln сечет
DF в некоторой точке Bn.
****** В этой работе рисунки
отображают построения (и результаты построений),
которые подробно излагаются в строках текста, расположенных по соседству
с соответствующими рисунками, и потому я не привожу альтернативный
текст.
СОДЕРЖАНИЕ
Начало второй статьи
Фрагмент о ключевых положениях
Фрагмент о материале абсолютной геометрии
Фрагмент об идее работы
НЕКОТОРЫЕ ПОДРОБНОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММЫ 3
Доказательство утверждения леммы 3 об углах
Фрагмент о способе рассечений
Ординарный частный случай леммы 3
Неординарный частный случай леммы 3
СИТУАЦИЯ РАССЕЧЕНИЙ
Первый цикл рассечений
Обыкновенный исход после первого цикла рассечений
Особый исход после первого цикла рассечений
Ситуация рассечений, следующих после 1-го цикла
i-тый цикл
рассечений
Доказательство вырождения ситуации рассечений в ситуацию
одного из
исходов:
обыкновенного или особого
Обыкновенный исход после n циклов рассечений
Особый исход после n
циклов рассечений
Резюме
ЛИТЕРАТУРА
ПРИМЕЧАНИЯ
СОДЕРЖАНИЕ
Начало первой статьи
Содержание первой статьи
Начало третьей статьи
Содержание третьей статьи
* * *
Используются технологии
uCoz